Mètodes alternatius per aprendre a multiplicar

Multipliquem amb les mans

En aquest apartat exposaré una curiosa manera de fer productes amb les mans. Sempre ha estat molt mal vist de fer les comptes amb les mans, així que ara proposaré un petit divertiment per a trencar una mica aquesta mala imatge dels dits calculadors. No es tracta de cap mètode revolucionari ni de càlcul ràpid, és un simple passatemps...
    Serà necessari conèixer les taules dels 5 primers nombres i de memoritzar (calcular) els productes dels múltiples de 5 com es veurà.
    Aquest mètode és pot aplicar a nombres del 6 al 100, o més, però és més senzill treballant amb xifres petites, òbviament. Vegem-ne un petit estudi demostratiu.

    Suposem que volem multiplicar 14 x 12, les passes a seguir són les següents:
    a)  Li restarem 10 a cada número, per a poder expressar-ho amb els dits, i ens queden 4 i 2.
    b)  Això vol dir que hem rebaixat en 10 x 10 = 100 el producte.
    c)  Ara sumen els dits que tenim 4 + 2 = 6, i això, ho multipliquem per 10 (número restat),
         és a dir, 6 x 10 = 60.
    d) Finalment multipliquem els dits de cada ma, 4 x 2 = 8.
    Ara sumem les tres quantitats anteriors: 100 + 60 + 8 = 168,

i ja tenim el resultat 14 x 12 = 168.

    Provem ara a multiplicar 18 x 17, d'una manera similar farem:
    a)  Li restarem 15 a cada número, per a poder expressar-ho amb els dits, i ens queden 3 i 2.
    b)  Això vol dir que hem rebaixat en 15 x 15 = 225 el producte.
    c)  Ara sumen els dits que tenim 3 + 2 = 5, i a això, ho multipliquem per 15 (número restat),
         és a dir, 5 x 15 = 75.
    d)  Finalment multipliquem els dits de cada ma, 3 x 2 = 6.
    Ara sumem les 3 quantitats anteriors: 225 + 75 + 6 = 306, i ja tenim que 18 x 17 = 306.

    Un altre exemple 21 x 23, les passes a seguir són les següents.
    a)  Li restarem 20 a cada número i ens queden 1 i 3, hem rebaixat en 20 x 20 = 400.
    b)  Ara sumen els dits que tenim 1 + 3 = 4, ho multipliquem per 20: 4 x 20 = 80.
    c)  Finalment multipliquem els dits de cada ma, 1 x 3 = 3.
    Sumem les 3 quantitats: 400 + 80 + 3 = 483, és a dir 21 x 23 = 483.

    Això funciona per qualsevol xifra, però ens sorgeix un problema si volem operar xifres de grups diferents, és a dir, que s'hagi de restar una quantitat diferent a cada ma.
    Suposem que volem calcular 32 x 18, llavors hem de fer uns petits canvis:
    a)  Li restem 30 al primer número i 15 al segon, per tant, ens queden 2 i 3.
    b)  Això vol dir que hem rebaixat en 30 x 15 = 450 el producte.
    c)  Ara multipliquem els dits per la quantitat restada a l'altre ma (productes creuats), és a   

dir, 2 x 15 = 30  i  3 x 30 = 90 i ho sumem 30 + 90 = 120.
    d)  Multipliquem els dits de cada ma, 2 x 3 = 6.
    Ara sumem les 3 quantitats anteriors: 450 + 120 + 6 = 576, i ja tenim que 32 x 18 = 576.
    Una mica més complicat en aquest cas, però funciona igualment.

    Per a acabar amb aquest mètode, i pels més avançats, exposaré la seva demostració matemàtica:
    Donats dos nombres x i y, els podem expressar en forma d'un múltiple de 5 més un residu:
x = 5·m + a;  y = 5·n + b.  5·m i 5·n són els múltiples de 5 que restarem, a i b els dits.
    Llavors tenim que: x · y = (5m + a) · (5n + b) = 25·m·n + a·5n + b·5m + a·b.  

    Per tant: 25·m·n és la primera quantitat rebaixada, a·5n + b·5m els productes creuats i a·b el producte dels dits. Òbviament, si m = n, el càlcul és més ràpid: 25·n² + (a + b)·5n + a·b.

    Ara ja podreu anar presumint de que sabeu multiplicar amb les mans !!

 

Un mètode diferent i més ràpid de multiplicar

    Buscant mètodes de càlcul mental o ràpid vaig dissenyar una petita estratègia que, després d'una mica de pràctica, em funciona força bé per a fer productes amb nombres no gaire grans. L'anomeno "mètode de les desenes creuades" i funciona de la següent manera:

Tenim, per exemple, el producte 27 x 34,

   · Primer pas: Calcular les unitats: 7 x 4 = 28, per tant, el resultat acaba en 8 i tinc 2 desenes.
   · Segon pas: Calcular les desenes, es fa en dues parts: 34 x 2 = 68  i  3 x 7 = 21.
     És a dir, les 2 desenes del primer número per l'altre 34 i les 3 desenes del segon per 7.
   · Tercer pas: Sumem totes les desenes 2 + 68 + 21 = 91. El resultat és 918.

Un altre exemple, el producte 37 x 52,

   · Primer pas: Calcular les unitats: 7 x 2 = 14, el resultat acaba en 4 i tinc 1 desena.
   · Segon pas: Calcular les desenes en dues parts: 52 x 3 = 156 i 7 x 5 = 35.
   · Tercer pas: Sumem totes les desenes 1 + 156 + 35 = 192. El resultat ara és 1.924.

    Pot semblar complicat d'entrada, però amb una mica de pràctica, he comprovat que funciona bastant bé com un recurs de càlcul mental.

 

Mètode "lineal dels productes creuats"

  Aquest és un mètode de multiplicar molt interessant que no necessita fer la suma final de fileres de nombres, es resol linealment seguint un esquema predeterminat. La imatge de sota ens diu com hem d'anar operant els diferents nombres:

L'esquema per un producte de 3 x 3 xifres té 5 passes:
    (1) Producte lineal d'unitats,
    (2) Producte creuat unitats-desenes,
    (3) Producte triple creuat d'unitats-centenes més el de desenes,
    (4) Producte creuat desenes-centenes i
    (5) Producte lineal de centenes.
                Agafem, per exemple, el producte     376

x 542

· Multipliquem seguint l'esquema donat el 2 x 6 = 12, el resultat acaba en 2 i ens portem 1
  · Ara s'ha de multiplicar en creu 7 x 2 = 14  i  4 x 6 = 24,
      ho sumem tot: 14 + 24 + 1 = 39, el segon número és el 9 i ens portem 3
    · L'esquema ens indica ara que em de multiplicar els nombre extrems i els del mig, és a dir:
  2 x 3 = 6, 5 x 6 = 30 i 7 x 4 = 28, ho sumem: 6 + 30 + 28 + 3 = 67, posem el 7 i ens portem 6
    · Ara multipliquem en creu 7 x 5 = 35  i  4 x 3 = 12, és a dir: 35 + 12 + 6 = 53,
      posem el 3 i ens portem 5.
  · I acabem fent 3 x 5 = 15, per tant, 15 + 5 = 20

· El resultat final és 203.792

  Si faltes alguna xifra, és a dir, un producte de 3 x 2 dígits, es posa un 0 al seu lloc.
La primera impressió que tenim és que d'un mètode complicat i embolicat, però feu la prova i veure-ho que és bastant senzill i, fins i tot, més ràpid. A més no os agrada trencar esquemes?

    Aquest és l'esquema per un producte de 4 x 4 xifres, és a dir, té 7 passes:
    (1) Producte lineal d'unitats,
    (2) Producte creuat unitats-desenes,
    (3) Producte triple creuat d'unitats-centenes més el de desenes,
    (4) Producte quàdruple creuat d'unitats-mil·lers més creuat desenes-centenes,
    (5) Producte triple de desenes-mil·lers més el de centenes,
    (6) Producte creuat centenes-mil·lers i
    (7) Producte lineal de mil·lers.
                        Per exemple, el producte:              3.518

x 4.209

    (1) 8 x 9 = 72, primer núm. el 2 ens portem 7 >> (2) 9 x 1 = 9, 8 x 0 = 0; 7 + 9 + 0 = 16  >>
    (3) 9 x 5 = 45, 2 x 8 = 16, 1 x 0 = 0; 1 + 45 + 16 = 62 >>
    (4) 9 x 3 = 27, 4 x 8 = 32, 5 x 0 = 0, 2 x 1 = 2; 6 + 27 + 32 + 2 = 67  >>
    (5) 3 x 0 = 0, 4 x 1 = 4, 5 x 2 = 10; 6 + 4 + 10 = 20  >>
    (6) 3 x 2 = 6, 4 x 5 = 20; 2 + 6 + 20 = 28 >>  (7) 4 x 3 = 12; 12 + 2 = 14

    El resultat final és: 14.807.262

    Evidentment aquest mètode funciona per a qualsevol producte, només s'ha de trobar l'esquema de treball, però seguint la lògica dels presentats a sobre, no és gaire complicat...
    També comentaré que si el producte és, només, de 2 x 2 xifres, l'esquema, òbviament, és:

I X I

    Sóc conscient que aquests recursos poden ser considerats purament anecdòtics, més en una època on les calculadores manen, però encara quedem uns quants romàntics del càlcul.
    Estic investigat tota mena de mètodes de càlcul mental o ràpid i aniré ampliant aquesta secció progressivament. Voleu veure'n una mostra:
Sabíeu que per dividir ràpidament per 11 només cal restar les centenes de les desenes?
            Ex. 742 : 11 = 67  >>  74 - 7 = 67
Sabíeu que per dividir per 15 només hem de restar un terç de les 2 primeres xifres?
          Ex. 818 : 11 = 54  >>  81 : 3 = 27, 81 - 27 = 54

    N'hi ha molt més, però aquests mètodes requereixen petits ajustaments, ja que si ho proveu, comprovareu que pot haver una errada en una unitat, així que més endavant ja aniré desenvolupant-los.